Apuntes Matemáticos para la Educación

Funciones

Definición 1.

Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función f de A en B es una regla de correspondencia que a cada elemento de A, le hace corresponder un y sólo un elemento de B.

Definición 2.

Sean A y B dos conjuntos no vacíos y f de A en B una función. Sea a en A. El elemento que f le hace corresponder a a en B, se llama imagen de a y se denota por f(a) (f(a) : se lee \efe de a") y a recibe el nombre de preimagen de f(a).

Ejemplo 1:

Notación:

Sean A y B dos conjuntos no vacíos y a en A

Si f es una función de A en B y f(a) es la imagen de a, esto se indica de la siguiente forma

f : A >B

a > f(a)

Definición 3.

Sean A y B dos conjuntos no vacíos y f : A > B función.

Entonces:

1. A recibe el nombre de dominio de la función

2. B recibe el nombre de codominio de la función

Definición 4.

Sean A y B conjuntos no vacíos y f : A > B función.

a) Se llama rango de f al conjunto Af , definido por la igualdad: Af = {f(x) tal que x en A}

O sea Af es el conjunto de las imágenes.

b) Se llama gráfico de f al conjunto Gf , definido por la igualdad Gf = {(x; f(x)) tal que x en A}

Ejemplo 2

Sea A = {-2;-1; 0; 1; 2}; B = {-6;-5;-4;-2; 0; 1; 2; 4; 6} y f : A >B;

f(x) = 2x

Determine

a) El rango de f.

b) El gráfico de f.

c) Represente el gráfico de f en un sistema de coordenadas rectangulares.

Solución

a) Para determinar Af , construyamos la siguiente tabla de valores considerando que f(x) = 2x

f(-2) = 2(-2) = -4

f(-1) = 2(-1) = -2

f(0) = 2(0) = 0

f(1) = 2(1) = 2

f(2) = 2(2) = 4

Por lo que Af = {-4;-2; 0; 2; 4}

b) Por definición Gf = {(x; 2x) tal que x en A} por lo que:

Gf = {(-2;-4); (-1;-2); (0; 0); (1; 2); (2; 4)}

c) Representación de Gf

Definición 5.

Sean A y B dos conjuntos no vacíos y f : A ¡! B; función. Sea a 2 A; se dice que a es un cero de f, si se cumple que: f(a) = 0

Ejemplo 3

Sea f : R >R; f(x) = 2x - 1

a) Determine los ceros de f.

b) Realice el trazo de f.

Solución

a) Ceros de f:

f(x) = 0 si y sólo si 2x - 1 = 0

2x = 1

x = 1/2

Por lo que

1/2 es un cero de f.

b) Trazo de f:

Observe que en este caso el dominio de f es R, así es que x se le puede asignar cualquier número real, pero para construir la tabla de valores escogemos valores para x "apropiados ".

Observe que en el gráfico anterior se obtiene:

1. La intersección entre la gráfica de f y el eje X es (1/2,0)

2. La intersección entre la gráfica de f y el eje Y es (0,-1)

En general:

Sean A y B dos conjuntos no vacíos y f : A >B función.

a) Intersección entre la gráfica de f y el eje X

Sea a 2 A tal que f(a) = 0; es decir a es un cero de f, entonces la gráfica de f interseca el eje X en el

punto (a; 0)

b) Intersección entre la gráfica de f y el eje Y

Sea b en B tal que f(0) = b; es decir b es la imagen de cero, entonces la gráfica de f interseca el eje Y

en el punto (0; b)

Definición 6.

Sea f(x) = y, donde y es una frase numérica abierta que involucra la variable x. Entonces diremos que el dominio de la variable x es el dominio máximo de f y lo denotamos Df

Nota: Recuerde que:

1. Si a/b estan en R entonces b = 0

2. Si a^(1/n) en R; con n par entonces a>= 0

Ejemplo 4
1. Sea f(x) = x/x-1. Como x - 1 = 0 entonces x = 1
Por lo que el dominio de f es R - {1}; o sea Df = R - {1}
2. Sea f(x) = x + 3/(x^2 - 25); aquí tiene que cumplirse que x^2 - 25 = 0
x^2 - 25 = 0
(x - 5)(x + 5) = 0

i) x - 5 = 0 entonces x = 5
ii) x + 5 = 0 entonces x = ¡5
Por lo que Df = R - {5;-5}

Ejemplo 5